
Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay
Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay
Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải
Quảng cáo
Bạn đang đọc: Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay – Toán lớp 12
1. Định lí
Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u ( x ) v ‘ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) – ∫ u ‘ ( x ) v ( x ) dx. Viết gọn : ∫ udv = uv – ∫ vdu .
2. Cách đặt
Các dạng cơ bản : Giả sử cần tính I = ∫ P ( x ). Q ( x ) dx
* Thông thường nên chú ý quan tâm : “ Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ ”Cho I = ∫ f ( x ). g ( x ) dx trong đó f ( x ) là đa thức và g ( x ) là biểu thức lượng giác .Ta đặt u = f ( x ) và v ’ = g ( x ) .Sau đó vận dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 – x)cosxdx
A. ( 1 + x ) cosx – sinx + C.B. ( 1 – x ) sinx – cosx + C .C. ( 1 – x ) cosx + sinx + C.D. ( 1 – x ) cosx – cosx + C .
Lời giải
Chọn B .
Quảng cáo
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x – 2).sin2x
Lời giải
Ta có : 2 ( x – 2 ). sin2x = ( x – 2 ). ( 1 – cos2x ) vì ( cos2x = 1 – 2 sin2x )
Chọn A .
Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x – 2).sinx.cosxdx
Lời giải
Ta có : ( 2 x – 2 ). sinx.cosx = ( x – 1 ). 2sinx.cosx = ( x – 1 ). sin2x⇒ I = ∫ ( 2 x – 2 ). sinx.cosxdx = ∫ ( x – 1 ) sin2xdx
Chọn D .
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
A. – x.cotx + ln | sinx | + C.B. x.cotx + ln | sinx | + C.C. x.cosx + ln | sinx | + C.D. x.cotx – ln | sinx | + C.
Lời giải
Chọn A .
Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.
Lời giải
Chọn C .
Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.
Lời giải
Chọn B .
Quảng cáo
Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin2x + sin3x + …)dx.
Lời giải
Ta có : 1 + sinx + sin2x + sin3x + … là tổng của cấp số nhân với un = sinnxVì | sinx | ≤ 1 nên vận dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được :
Chọn D.
Ví dụ 8. Tính I = ∫(x2 – 100)sinxdx
A. I = – ( x2 – 100 ). sinx + 2 xsinx – 2 cosx + C .B. I = ( x2 – 100 ). cosx – 2 xsinx + cosx + C .C. I = – ( x2 – 100 ). cosx + 2 xsinx + 2 cosx + C .D. Tất cả sai .
Lời giải
Chọn C .
Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos2xdx
Lời giải
Chọn C .
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx
A. F ( x ) = ( x + 1 ) cosx + sinx + c .B. F ( x ) = – ( x + 1 ) cosx + sinx + c .C. F ( x ) = – ( x + 1 ) cosx – sinx + c .D. F ( x ) = – ( x + 1 ) cosx – sinx + c .
Hiển thị lời giải
Ta có :
Chọn B .
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin2x – cos2x)
Hiển thị lời giải
Ta có : ( x + 3 ). ( sin2x – cos2x ) = ( x + 3 ). ( – cos2x ) vì ( cos2x = cos2x – sin2x )
Chọn A .
Câu 3: Tính:
A. ( x + 1 ). cosx + 2 sin2x + C.B. 2 ( x + 1 ). sinx + 2 cosx + C .C. ( x + 1 ). cosx + 2 cosx + C.D. – ( x + 1 ). cosx + 2 sinx + C .
Hiển thị lời giải
Chọn D .
Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
A. ( 2 x + 1 ). tanx + 2.ln | cosx | + C.B. ( 2 x + 1 ). cotx + 2.ln | cosx | + C.C. ( 2 x + 1 ). sinx + 2.ln | sinx | + C.D. Đáp án khác .
Hiển thị lời giải
Chọn A .
Câu 5: Tính
Hiển thị lời giải
Chọn A .
Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:
Hiển thị lời giải
Chọn D .
Câu 7: Nguyên hàm của hàm số bằng:
Hiển thị lời giải
Chọn B .
Câu 8: Tìm
Hiển thị lời giải
Chọn C .
Câu 9: Tính . Chọn kết quả đúng.
Hiển thị lời giải
Chọn A .
Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com
nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp
Source: https://vietnamgottalent.vn
Category: Học tập