Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ u ( x ) v ‘ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) – ∫ u ‘ ( x ) v ( x ) dx. Viết gọn : ∫ udv = uv – ∫ vdu .

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản : Giả sử cần tính I = ∫ P ( x ). Q ( x ) dx

* Thông thường nên chú ý quan tâm : “ Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ ”Cho I = ∫ f ( x ). g ( x ) dx trong đó f ( x ) là đa thức và g ( x ) là biểu thức lượng giác .Ta đặt u = f ( x ) và v ’ = g ( x ) .Sau đó vận dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 – x)cosxdx

A. ( 1 + x ) cosx – sinx + C.B. ( 1 – x ) sinx – cosx + C .C. ( 1 – x ) cosx + sinx + C.D. ( 1 – x ) cosx – cosx + C .

Lời giải

Chọn B .

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2(x – 2).sin2x

Lời giải

Ta có : 2 ( x – 2 ). sin2x = ( x – 2 ). ( 1 – cos2x ) vì ( cos2x = 1 – 2 sin2x )

Chọn A .

Ví dụ 3. Tính I = ∫(2x – 2).sinx.cosxdx

Lời giải

Ta có : ( 2 x – 2 ). sinx.cosx = ( x – 1 ). 2sinx.cosx = ( x – 1 ). sin2x⇒ I = ∫ ( 2 x – 2 ). sinx.cosxdx = ∫ ( x – 1 ) sin2xdx

Chọn D .

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. – x.cotx + ln | sinx | + C.B. x.cotx + ln | sinx | + C.C. x.cosx + ln | sinx | + C.D. x.cotx – ln | sinx | + C.

Lời giải

Chọn A .

Ví dụ 5. Tính ∫xsin2xdx.

Lời giải

Chọn C .

Ví dụ 6. Tính ∫cos√x dx.

Lời giải

Chọn B .

Quảng cáo

Ví dụ 7. Tính I = ∫(1 + sinx + sin2x + sin3x + …)dx.

Lời giải

Ta có : 1 + sinx + sin2x + sin3x + … là tổng của cấp số nhân với un = sinnxVì | sinx | ≤ 1 nên vận dụng công thức tính tổng của cấp số nhân có công bội q = sinx < 1 ta được :
Chọn D.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x2 – 100)sinxdx

A. I = – ( x2 – 100 ). sinx + 2 xsinx – 2 cosx + C .B. I = ( x2 – 100 ). cosx – 2 xsinx + cosx + C .C. I = – ( x2 – 100 ). cosx + 2 xsinx + 2 cosx + C .D. Tất cả sai .

Lời giải

Chọn C .

Ví dụ 9. Tính I = ∫x.sinx.cos2xdx

Lời giải

Chọn C .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính nguyên hàm của hàm số: f(x) = (x + 1).sinx

A. F ( x ) = ( x + 1 ) cosx + sinx + c .B. F ( x ) = – ( x + 1 ) cosx + sinx + c .C. F ( x ) = – ( x + 1 ) cosx – sinx + c .D. F ( x ) = – ( x + 1 ) cosx – sinx + c .
Hiển thị lời giải
Ta có :

Chọn B .

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (x + 3).(sin2x – cos2x)

Hiển thị lời giải
Ta có : ( x + 3 ). ( sin2x – cos2x ) = ( x + 3 ). ( – cos2x ) vì ( cos2x = cos2x – sin2x )

Chọn A .

Câu 3: Tính:

A. ( x + 1 ). cosx + 2 sin2x + C.B. 2 ( x + 1 ). sinx + 2 cosx + C .C. ( x + 1 ). cosx + 2 cosx + C.D. – ( x + 1 ). cosx + 2 sinx + C .
Hiển thị lời giải

Chọn D .

Câu 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. ( 2 x + 1 ). tanx + 2.ln | cosx | + C.B. ( 2 x + 1 ). cotx + 2.ln | cosx | + C.C. ( 2 x + 1 ). sinx + 2.ln | sinx | + C.D. Đáp án khác .
Hiển thị lời giải

Chọn A .

Câu 5: Tính

Hiển thị lời giải

Chọn A .

Câu 6: Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) = xcos3x, biết F(0) = 1. Vậy F(x) là:

Hiển thị lời giải

Chọn D .

Câu 7: Nguyên hàm của hàm số bằng:

Hiển thị lời giải

Chọn B .

Câu 8: Tìm

Hiển thị lời giải


Chọn C .

Câu 9: Tính . Chọn kết quả đúng.

Hiển thị lời giải

Chọn A .

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://vietnamgottalent.vn
Category: Học tập