Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số (Kèm tài liệu)

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số xuất hiện khá thường xuyên trong các đề thi toán học. Với nhiều mức độ, nhiều dạng khác nhau. Hiểu được sự khó khăn của học sinh khi bắt đầu tiếp xúc với các dạng bài này, bài học hôm nay VerbaLearn sẽ tổng hợp lại chi tiết các dạng toán và kiến thức liên quan đến GTLN, GTNN trong toán học và đặc biệt là chương trình toán lớp 12.

Bài viết liên quan

Lý thuyết giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên tập D .+ ) Số M được gọi là giá trị lớn nhất ( GTLN ) của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≤ M với mọi x ∈ D và sống sót x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .

Kí hiệu:

+ ) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≥ M với mọi x ∈ D và sống sót x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .

Kí hiệu:

Sơ đồ hệ thống hóa :

Phân dạng bài tập tìm GTLN GTNN của hàm số

Thông thường so với những bài giảng về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất chỉ có cơ bản vài dạng bài tập. Tuy nhiên so với một bài viết tổng quan về chuyên đề như này thì VerbaLearn chia thành 13 dạng từ cơ bản, vận dụng cho đến vận dụng cao. Nếu những dạng bài tập quá dài bạn đọc hoàn toàn có thể tải những tài liệu về để xem một cách thuận tiện hơn .

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng

Phương pháp giải

Ta triển khai những bước sau :

• Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng)
• Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
• Bước 3. Lập bảng biến thiên
• Bước 4. Kết luận

Lưu ý : Có thể dùng máy tính cầm tay để giải theo những bước như sau :Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên miền ( a ; b ) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 ( MODE 9 lập bảng giá trị )Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất Open là max, giá trị nhỏ nhất Open là min .

– Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step

(có thể làm tròn để Step đẹp).( hoàn toàn có thể làm tròn để Step đẹp ) .Chú ý : Khi đề bài liên có những yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx … ta chuyển máy tính về chính sách Radian .

Bài tập mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.D. Hàm số không sống sót giá trị lớn nhấtHướng dẫn giảiChọn BTập xác lập D = ℝTa có f ’ ( x ) = – 2×5 + 2×4 – x + 1 = – ( x – 1 ) ( 2×4 + 1 )Khi đó f ’ ( x ) = 0 ⇔ – ( x – 1 ) ( 2×4 + 1 ) = 0 ⇔ x = 1Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại x = 1

Ví dụ 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (-∞; 1). Khi đó giá trị của biểu thức bằng

tại x = 1

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn CHàm số liên tục trên khoảng chừng ( – ∞ ; 1 )

Ta có

Khi đó f’(x) = 0 ⇔ 8×2 – 12x – 8 = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

Ví dụ 3. Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

B.

C.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhấtHướng dẫn giảiChọn BTập xác lập D = ℝ

Ta có

Do đó y ’ = 0 ⇔ 2×2 – 2 = 0 ⇔ x = ± 1Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại x = 1

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Phương pháp giải

tại x = 1

• Bước 1. Tính f’(x)
• Bước 2. Tìm các điểm xi ∈ (a;b) mà tại đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định
• Bước 3. Tính f(a), f(xi), f(b)
• Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Khi đó

và vàChú ý :

– Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

– Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

Bài tập 1. Cho hàm số . Giá trị của bằng

A. 16

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn D

Ta có

; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞); do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) ; ( 1 ; + ∞ )⇒ Hàm số nghịch biến trên [ 2 ; 3 ] .

Do đó

Vậy

Bài tập 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . Giá trị của biểu thức P = M + m bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn ATập xác lập D = [ – 2 ; 2 ]

Ta có

, x ∈ (-2; 2), x ∈ ( – 2 ; 2 )

y’ = 0 ⇔

Vậy

Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2×3 – 3×2 + m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng

A. 6B. 10C. 7D. 5Hướng dẫn giảiChọn A .Hàm số xác lập và liên tục trên D = [ 0 ; 5 ]

Ta có y’ = 0 ⇔ 6×2 – 6x = 0 ⇔

f ( 0 ) = m ; f ( 1 ) = m – 1 ; f ( 5 ) = 175 + m

Dễ thấy f (5) > f (0) > f (1), ∀ m ∈ ℝ nên

Theo đề bài

⇔ m – 1 = 5 ⇔ m = 6

Bài tập 4. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2; 3]. Tất cả các giá trị thực của tham số m để là

⇔ m – 1 = 5 ⇔ m = 6A. m = 1 ; m = – 2B. m = – 2C. m = ± 2D. m = – 1 ; m = 2Hướng dẫn giảiChọn AHàm số đã cho liên tục trên đoạn [ 2 ; 3 ]

Ta có

Do đó

⇔ 3m2 + m – 6 = 0 ⇔

Bài tập 5. Biết hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(2m – 1) x + 1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là

A. m = 1B. m = 0C. m = 3D. m = – 1Hướng dẫn giảiChọn D

y’ = 0 ⇔

Vì  y(-2) = -1; y(0) = 1 và theo bài ra

nên giá trị lớn nhất không đạt tại x = -2; x = 0.nên giá trị lớn nhất không đạt tại x = – 2 ; x = 0 .Do đó giá trị lớn nhất đạt tại y ( – 1 ) hoặc y ( 1 – 2 m ) .Ta có y ( – 1 ) = – 3 m + 3 ; y ( 1 – 2 m ) = ( 1 – 2 m ) 2 ( m – 2 ) + 1Trường hợp 1 : Xét – 3 m + 3 = 6 ⇔ m = – 1

Thử lại với m = -1, ta có y’ = 0 ⇔

nên m = -1 là một giá trị cần tìm.nên m = – 1 là một giá trị cần tìm .

Trường hợp 2: Xét

Vì

⇒ m – 2 < 0 ⇒ (1 – 2m)2(m – 2) < 0 nên (1) vô nghiệm

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]

Phương pháp giải

⇒ m – 2 < 0 ⇒ ( 1 – 2 m ) ( m – 2 ) < 0 nên ( 1 ) vô nghiệmThực hiện theo những bước sau– Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a ; b ], giả sử thứ tự là M, m .– Bước 2 .

+) Tìm

+) Tìm

Trường hợp 1 : M ․ m < 0 ⇒ = 0= 0Trường hợp 1 : m ≥ 0 ⇒ = m= mTrường hợp 1 : M ≤ 0 ⇒ = |M| = -M= | M | = - M– Bước 3. Kết luận .* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = | f ( x ) | trên đoạn [ α, β ] bằng k. Thực hiện theo những bước sau :

– Bước 1. Tìm

– Bước 2. Xét những trường hợp+ ) | A | = k tìm m, thử lại những giá trị m đó+ ) | B | = k tìm m, thử lại những giá trị m đó

Bài tập mẫu

Bài tập 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3 – 9×2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] bằng

A. 48B. 52C. – 102D. 0Hướng dẫn giảiChọn ABảng biến thiên của hàm số y = x3 – 9×2 + 24 x – 68 trên đoạn [ – 1 ; 4 ]

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = | x3 – 9×2 + 24 x – 68 | trên đoạn [ – 1 ; 4 ] là

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = | x3 – 9×2 + 24 x – 68 | trên đoạn [ – 1 ; 4 ] bằng 48 .Cách khác : Theo trường hợp 3 thì M = – 48 < 0 ⇒ min y = 48

Bài tập 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; 2] bằng 2.

Số thành phần của tập S làA. 3B. 1C. 4D. 2Hướng dẫn giảiChọn D

Xét hàm số

Ta có

Mặt khác

Do đó

– Trường hợp 1 :

+) Với

(loại)( loại )

+) Với

(thỏa mãn)( thỏa mãn nhu cầu )– Trường hợp 2 :

+) Với

(thỏa mãn)( thỏa mãn nhu cầu )

+) Với

(loại)( loại )Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn nhu cầu .

Bài tập 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |¼ x4 – 14×2 + 48x + m – 30| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng

A. 108B. 120C. 210D. 136Hướng dẫn giảiChọn DXét hàm số g ( x ) = ¼ x4 – 14×2 + 48 x + m – 30 trên đoạn [ 0 ; 2 ]

Ta có g’(x) = x3 – 28x + 48 ⇒ g’(x) = 0 ⇔

Để

⇒ m ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; … ; 15 ; 16 }Tổng những thành phần của S là 136 .

Bài tập 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số bằng 18.

Mệnh đề nào sau đây đúng ?A. 0 < m < 5B. 10 < m < 15C. 5 < m < 10D. 15 < m < 20Hướng dẫn giảiChọn D

Xét hàm số

liên tục trên tập xác định [-2; 2]liên tục trên tập xác lập [ – 2 ; 2 ]

Ta có

Do đó

khi x = -2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng khi x = – 2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằngTheo bài ra = 18 ⇔ m = 15,5. Vậy 15 < m < 20

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN

Phương pháp giải

= 18 ⇔ m = 15,5. Vậy 15 < m < 20Thực hiện những bước sau

– Bước 1. Tìm

– Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của số y = | f ( x ) + g ( m ) | thì

M = max{|α + g(m)|; |β + g(m)|}≥

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi | α + g ( m ) | = | β + g ( m ) |

Áp dụng bất đẳng thức

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [ α + g ( m ) ] ․ [ β + g ( m ) ] ≥ 0

– Bước 3. Kết luận

khi

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |x2 + 2x + m – 4| trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

khiA. 1B. 3C. 4D. 5Hướng dẫn giảiChọn BĐặt f ( x ) = x2 + 2 xTa có f ’ ( x ) = 2 x + 2f ’ ( x ) = 0 ⇔ x = – 1 ∈ [ – 2 ; 1 ]f ( – 2 ) = 0 ; f ( 1 ) = 3 ; f ( – 1 ) = – 1

Do đó

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

⇒ m = 3 (thỏa mãn)

Bài tập 2: Để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

⇒ m = 3 ( thỏa mãn nhu cầu )

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn ATập xác lập D = [ 0 ; 2 ]

Đặt

, x ∈ D, x ∈ D

Ta có

⇒ f’(x) = 0 ⇔ x = 1⇒ f ’ ( x ) = 0 ⇔ x = 1f ( 0 ) = 0 ; f ( 2 ) = 0 ; f ( 1 ) = 1

Suy ra

Dấu bằng xảy ra ⇔

(thỏa mãn)( thỏa mãn nhu cầu )Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi

Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x, m) = |x2 – 2x + 5| + mx đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 2B. 5C. 8D. 9Hướng dẫn giảiChọn BTa có min f ( x, m ) ≤ f ( 0, m ) = 5, ∀ m ∈ ℝXét m = 2 ta có f ( x, 2 ) = | x2 – 2 x + 5 | + 2 x ≥ x2 – 2 x + 5 + 2 x ≥ 5, ∀ x ∈ ℝDấu bằng xảy ra tại x = 0. Suy ra min f ( x, 2 ) = 5, ∀ x ∈ ℝ

Do đó

⇒ max (min f (x, m)) = 5, đạt được khi m = 2⇒ max ( min f ( x, m ) ) = 5, đạt được khi m = 2Tổng quát : y = | ax2 + bx + c | + mxTrường hợp 1 : a ․ c > 0 ⇒ max ( miny ) = cĐạt được khi m = – b

Bài tập 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x, m) = |x2 – 4x – 7| đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 7B. – 7C. 0D. 4Hướng dẫn giảiChọn CPhương trình x2 – 4 x – 7 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2– Trường hợp 1 : Nếu m ≥ 0Ta có min f ( x, m ) ≤ f ( x1, m ) = mx1 ≤ 0, ∀ m ∈ ℝXét m = 0 ta có f ( x, 0 ) = | x2 – 4 x – 7 | ≥ 0, ∀ x ∈ ℝDấu bằng xảy ra tại x = x1, 2. Suy ra min f ( x, m ) = 0, ∀ x ∈ ℝ

Do đó

⇒ max (min f (x, m)) = 0, đạt được khi m = 0⇒ max ( min f ( x, m ) ) = 0, đạt được khi m = 0– Trường hợp 2 : Nếu m < 0Ta có min f ( x, m ) ≤ f ( x2, m ) = mx2 < 0, ∀ m ∈ ℝ ⇒ max ( min f ( x, m ) ) < 0So sánh cả hai trường hợp thì max ( min f ( x, m ) ) = 0 khi m = 0Trường hợp 2 : a ․ c < 0 ⇒ max ( miny ) = 0Đạt được khi m = 0

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc bảng biến thiên

Bài tập 1. Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Biết f ( – 4 ) > f ( 8 ), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ℝ bằngA. 9B. f ( – 4 )C. f ( 8 )D. – 4Hướng dẫn giảiChọn CTừ bảng biến thiên ta có f ( x ) ≥ f ( – 4 ) ∀ m ∈ ( – ∞ ; 0 ] và f ( x ) ≥ f ( 8 ), ∀ m ∈ ( 0 ; + ∞ )Mặt khác f ( – 4 ) > f ( 8 ) suy ra x ∈ ( – ∞ ; + ∞ ) thì f ( x ) ≥ f ( 8 )

Vậy

Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp và có bảng biến thiên như sau

Khẳng định đúng là

A.

; không tồn tại ; không sống sótB.; C.;

D.

; không tồn tại ; không sống sótHướng dẫn giảiChọn B

Dựa vào bảng biến thiên thì

Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ – 1 ; 3 ]. Giá trị của M – m bằngA. 1B. 3C. 4D. 5Hướng dẫn giảiChọn DDựa vào đồ thị suy raM = f ( 3 ) = 3 ; m = f ( 2 ) = – 2Vậy M – m = 5

Bài tập 4. Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ

Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng chừng [ 1 ; 3 ] tại x0. Khi đó giá trị của x02 – 2×0 + 2019 bằng bao nhiêu ?A. 2018B. 2019C. 2021D. 2022Hướng dẫn giảiChọn BDựa vào đồ thị của hàm số y = f ’ ( x ) ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng chừng [ 1 ; 3 ] tại x0 = 2Vậy x02 – 2×0 + 2019 = 2019

Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Ghi nhớ : Điều kiện của những ẩn phụ

– Nếu

⇒ -1 ≤ t ≤ 1⇒ – 1 ≤ t ≤ 1

– Nếu

⇒ 0 ≤ t ≤ 1⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu

⇒ 0 ≤ t ≤ 1⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx =

• Bước 1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo ẩn phụ
• Bước 3. Kết luận (Chọn đáp án)

Bài tập mẫu

Bài tập 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2cos2x + 2sinx là

A.

; m = -4; m = – 4B. M = 4 ; m = 0

C. M = 0;

D. M = 4 ;Hướng dẫn giảiChọn ATa có y = 2 cos2x + 2 sinx = 2 ( 1 – 2 sin2x ) + 2 sinx = – 4 sin2x + 2 sinx + 2Đặt t = sin x, t ∈ [ – 1 ; 1 ], ta được y = – 4 t2 + 2 t + 2Ta có y ’ = 0 ⇔ – 8 t + 2 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ ( – 1 ; 1 )

Vì

nên ; m = -4

Bài tập 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

nên ; m = – 4

A.

B.

C.

D. 3Hướng dẫn giảiChọn B

Đặt t = |cosx| ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được

với 0 ≤ t ≤ 1với 0 ≤ t ≤ 1

Vì

, ∀ t ∈ [0; 1] nên , ∀ t ∈ [ 0 ; 1 ] nênSuy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

Bài tập 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số là

A.

B. M = 3

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn A

Đặt t = cos2x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được

với t ∈ [0; 1]với t ∈ [ 0 ; 1 ]

Ta có

Vì

nên

Bài tập 4. Cho hàm số (với m là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

nên

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn A

Xét

Đặt t = sinx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1, ta được

với t ∈ [-1; 1]với t ∈ [ – 1 ; 1 ]

Ta có

Vì

nên nên

Hay

Mặt khác

Do đó

Dấu bằng đạt được khi

Bài tập 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| bằng

A.

B.

C. 1

D.

Hướng dẫn giảiChọn BTa có P2 = 6 + 4 ( sinx + cosx ) + 2 | 1 + 2 ( sinx + cosx ) + 4 sinx ․ cosx |

Đặt t = sinx + cosx =

với với

Xét y = P2 = 6 + 4t + 2 |2t2 + 2t – 1| =

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

Bài tập 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cos2x trên đoạn [0; π] là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn DĐặt t = sinx ⇒ cos2x = 1 – 2 sin2x = 1 – 2 t2, với x ∈ [ 0 ; π ] ⇒ t ∈ [ 0 ; 1 ]Ta được f ( t ) = – 2 t2 + t + 1 với t ∈ [ 0 ; 1 ]Ta có f ’ ( t ) = – 4 t + 1 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ ( 0 ; 1 )

Do  f (0) = 1;

; f (1) = 0 nên ; f ( 1 ) = 0 nênVậy giá trị lớn nhất của hàm số là

Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác

Bài tập 1. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

A.

B. – 5

C.

D. 3Hướng dẫn giảiChọn A

Do

Đặt

Khi đó y = 4t3 + 6t – 1 với t ∈

Vì y ’ = 12 t2 + 6 > 0, ∀ t nên hàm số đồng biến trên

Do đó

Bài tập 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là

A. 2;

B. 4 ; 2

C. 4;

D. 4 ;Hướng dẫn giảiChọn DTập xác lập D = [ 1 ; 9 ]

Ta có

⇒ x = 5 ∈ (1; 9)⇒ x = 5 ∈ ( 1 ; 9 )Vì y ( 1 ) = y ( 9 ) =; y (5) = 4 nên max y = 4; min y = .; y ( 5 ) = 4 nên max y = 4 ; min y =

Nhận xét: với hàm số

(-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì( – a ≤ x ≤ b ; a + b ≥ 0 ) thì

Suy ra

dấu bằng luôn xảy ra.

Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

dấu bằng luôn xảy ra .

A.

B. – 2C. – 4D. 2Hướng dẫn giảiChọn ATập xác lập của hàm số là D = [ – 1 ; 3 ]

Đặt

Do

, ∀ x ∈ [-1; 3], từ đó suy ra -2 ≤ t ≤ 2, ∀ x ∈ [ – 1 ; 3 ], từ đó suy ra – 2 ≤ t ≤ 2

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [-2; 2].trên đoạn [ – 2 ; 2 ] .Ta có g ’ ( t ) = t + 1 = 0 ⇔ t = – 1 ∈ ( – 2 ; 2 )Lại có g ( – 2 ) = – 2 ; g ( 2 ) = 2 ; g ( – 1 ) =Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng

Nhận xét: Với hàm số

(-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì( – a ≤ x ≤ b ; a + b ≥ 0 ) thì

Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến

Bài tập 1. Cho biểu thức với x2 + y2 ≠ 0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng

A. 3

B.

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giảiChọn B .Nếu y = 0 thì P = 1 ( 1 )

Nếu y ≠ 0 thì

Đặt

, khi đó , khi đó

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có P = f ( t ) ≥ (2)( 2 )Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra có P = f ( t ) ≥ ⇒ min P =

Bài tập 2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức lần lượt là

⇒ min P =

A.

và 1và 1B. 0 và 1

C.

và 1và 1D. 1 và 2Hướng dẫn giảiChọn C

Ta có

Đặt t = xy ta được

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ t ≥ 0

Mặt khác

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

trên trênXét hàm số xác định và liên tục trên xác lập và liên tục trên

Ta có

với ∀ t ∈ với ∀ t ∈⇒ Hàm số g ( t ) nghịch biến trên đoạn

Do đó

Bài tập 3. Cho x, y  là  các  số  thực thỏa  mãn (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu  thức bằng

A. 3

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn A( x – 3 ) 2 + ( y – 1 ) 2 = 5 ⇒ x2 + y2 – 6 x – 2 y + 5 = 0

Đặt t = x + 2 y( 12 + 22 ) ․ [ ( x – 3 ) 2 + ( y – 1 ) 2 ] ≥ [ ( x – 3 ) + ( 2 y – 2 ) ] 2

Ta được

Xét

Vì f ( 0 ) = 4 ; f ( 10 ) =; f (1) = 3 ⇒ min P = 3 khi t = 1.

Bài tập 4. Gọi x0, y0, z0 là ba số thực dương sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

; f ( 1 ) = 3 ⇒ min P = 3 khi t = 1 .Tổng x0 + y0 + z0 bằngA. 3B. 1

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn BTa có

Đặt x + y + x = t. Khi đó

Ta có

Bảng biến thiên

Suy ra

. Dấu “=” xảy ra . Dấu “ = ” xảy ra

Do đó

Bài tập 5. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3x2y – xy2 – 2×3 + 2x bằng

A. 8B. 0C. 12D. 4Hướng dẫn giảiChọn B

Với điều kiện bài toán x, y > 0 và x2 – xy + 3 = 0

Lại có

Từ đó

Xét hàm số

Suy ra hàm số đồng biến trên

⇒ f (1) ≤ f(x) ≤

⇒ -4 ≤ f(x) ≤ 4 ⇒ max P + min P = 4 + (-4) = 0

Bài tập 6. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x ≥ y, x ≥ z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

⇒ – 4 ≤ f ( x ) ≤ 4 ⇒ max P + min P = 4 + ( – 4 ) = 0

A.

B.

C.

D. 1Hướng dẫn giảiChọn C

Thật vậy

đúng do ab ≥ 1đúng do ab ≥ 1Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1 .

Áp dụng bất đẳng thức trên

Đặt

. Xét hàm số trên đoạn [1; 3]. Xét hàm sốtrên đoạn [ 1 ; 3 ]

f ’ ( t ) = 0 ⇔ t4 – 2 t3 – 24 t2 – 2 t + 100 = 0⇔ ( t – 2 ) ( t3 – 24 t – 50 ) = 0 ⇔ t = 2 do t3 – 24 t – 50 < 0, ∀ x ∈ [ 1 ; 3 ]Bảng biến thiên

Suy ra

khi và chỉ khi

Dạng 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)… khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x).

Phương pháp

khi và chỉ khiThực hiện theo một trong hai cáchCách 1 :Bước 1. Đặt t = u ( x ) .Đánh giá giá trị của t trên khoảng chừng K .Chú ý : Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để nhìn nhận giá trị của t = u ( x ) .– Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) .– Bước 3. Kết luận .Cách 2 :– Bước 1. Tính đạo hàm y ’ = u ’ ( x ) ․ f ’ ( u ( x ) ) .– Bước 2. Tìm nghiệm y ’ = u ’ ( x ) ․ f ’ ( u ( x ) ) = 0– Bước 3. Lập bảng biến thiên– Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ), y = f ( u ( x ) ), y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) …

Bài tập mẫu

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f ( | x – 1 | ) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0 ; 2 ] bằngA. f ( – 2 )B. f ( 2 )C. f ( 1 )D. f ( 0 )Hướng dẫn giảiChọn DĐặt t = | x – 1 |, ∀ x ∈ [ 0 ; 2 ] ⇒ t ∈ [ 0 ; 1 ]

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất

Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Khi đó hàm số y = f (2 – x2) đạt giá trị nhỏ nhất trên bằng

A. f ( – 2 )B. f ( 2 )C. f ( 1 )D. f ( 0 )

Hướng dẫn giảiChọn BĐặt t = 2 – x2. Từ x ∈ ⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2 ⇔ 2 ≥ 2 – x2 ≥ 0 ⇒ t ∈ [0; 2]⇔ 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ 2 ≥ 2 – x2 ≥ 0 ⇒ t ∈ [ 0 ; 2 ]

Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất

Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) = ax4 + bx2 + c xác định và liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x + 3 ) trên đoạn [ 0 ; 2 ] làA. 64B. 65C. 66D. 67Hướng dẫn giảiChọn CHàm số có dạng f ( x ) = ax4 + bx2 + c. Từ bảng biến thiên ta có

⇒ f ( x ) = x4 – 2×2 + 3Đặt t = x + 3, x ∈ [ 0 ; 2 ] ⇒ t ∈ [ 3 ; 5 ]Dựa vào đồ thị, hàm số y = f ( t ) đồng biến trên đoạn [ 3 ; 5 ] .

Do đó

Dạng 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)… Khi biết đồ thị của hàm số y = f’(x)

Bài tập 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên ℝ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f’(x) như dưới đây.

Lập hàm số g ( x ) = f ( x ) – x2 – x .Mệnh đề nào sau đây đúng ?A. g ( – 1 ) > g ( 1 )B. g ( – 1 ) = g ( 1 )C. g ( 1 ) = g ( 2 )D. g ( 1 ) > g ( 2 )Hướng dẫn giảiChọn DTa có g ’ ( x ) = f ’ ( x ) – 2 x – 1Từ đồ thị hàm số y = f ’ ( x ) và đường thẳng y = 2 x + 1 ta có g ’ ( x ) = 0

⇔ f’(x) = 2x + 1 ⇒

Bảng biến thiên

Ta chỉ cần so sánh trên đoạn [ – 1 ; 2 ]. Đường thẳng y = 2 x + 1 là đường thẳng đi qua những điểm A ( – 1 ; – 1 ), B ( 1 ; 3 ), C ( 2 ; 5 ) nên đồ thị hàm số y = f ’ ( x ) và đường thẳng y = 2 x + 1 cắt nhau tại 3 điểm .

Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế

Bài tập 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 3t2 – t3. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2 sB. t = 5 sC. t = 1 sD. t = 3 sHướng dẫn giảiChọn CTa có v ( t ) = s ’ ( t ) = 6 t – 3 t2 ⇒ v ( t ) = – 3 ( t – 1 ) 2 + 3 ≤ 3, ∀ t ∈ ℝGiá trị lớn nhất của v ( t ) = 3 khi t = 1 .

Bài tập 2. Một vật chuyển động theo quy luật s = -⅓t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180 ( m / s )B. 36 ( m / s )C. 144 ( m / s )D. 24 ( m / s )Hướng dẫn giảiChọn BTa có v ( t ) = s ’ ( t ) = – t2 + 12 tv ’ ( t ) = – 2 t + 12 = 0 ⇔ t = 6Vì v ( 6 ) = 36 ; v ( 0 ) = 0 ; v ( 7 ) = 35 nên tốc độ lớn nhất đạt được bằng 36 ( m / s ) .

Bài tập 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức (mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờB. 1 giờC. 3 giờD. 2 giờHướng dẫn giảiChọn BXét hàm số (t > 0)( t > 0 )

Bảng biến thiên

Với t = 1 ( giờ ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất .

Bài tập 4. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 600.000 đồng/ m2. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là:

A. 75 triệu đồngB. 85 triệu đồngC. 90 triệu đồngD. 95 triệu đồngHướng dẫn giảiChọn CGọi x ( m ) là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2 x ( m ) và h ( m ) là chiều cao bể

Bể có thể tích bằng

Diện tích cần xây

Xét hàm

Bảng biến thiên

Do đó

giá thành thuê nhân công thấp nhất khi diện tích quy hoạnh thiết kế xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150 × 600.000 = 90.000.000 đồng .

Bài tập 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn AKhi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng nửa đường kính của hình quạt tròn, tức là OA = 4 dm

Thể tích của hình nón

với 0 < h < 4với 0 < h < 4

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là

Bài tập 6. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2πm3. Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất

A.

; h = 8m; h = 8 mB. R = 1 m ; h = 2 m

C. R = 2m;

D. R = 4m;

Hướng dẫn giảiChọn B

Từ giả thiết ta có

Diện tích toàn phần của thùng phi là

Xét hàm số

với R ∈ (0; +∞)với R ∈ ( 0 ; + ∞ )

Ta có

f ’ ( R ) = 0 ⇔ R = 1Bảng biến thiên

Suy ra diện tích quy hoạnh toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R = 1 ⇒ h = 2Vậy để tiết kiệm ngân sách và chi phí vật tư nhất khi làm thùng phi thì R = 1 m ; h = 2 m

Bài tập 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 120 triệu đồngB. 164,92 triệu đồngC. 114,64 triệu đồngD. 106,25 triệu đồngHướng dẫn giảiChọn C

Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp ráp đường dây điện ra biển nối với điểm C

Đặt AM = x ⇒ BM = 4 – x ⇒

, x ∈ [0; 4], x ∈ [ 0 ; 4 ]

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là

(đơn vị: triệu đồng)( đơn vị chức năng : triệu đồng )

Ta có

Do đó ngân sách nhỏ nhất để triển khai xong việc làm là 114,64 triệu đồng .

Dạng 12. Tìm m để F(x; m) = 0 có nghiệm trên tập D

Phương pháp giải

Thực hiện theo những bước sau– Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng f ( x ) = g ( m )– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f ( x ) trên D– Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác lập giá trị tham số A ( m ) sao cho đường thẳng y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( x )– Bước 4. Kết luậnChú ý :+ ) Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm khi và chỉ khi

+ ) Nếu bài toán nhu yếu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác lập điều kiện kèm theo sao cho đường thẳng y = g ( m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại k điểm phân biệt .

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-100; 100] để phương trình có nghiệm thực?

A. 100B. 101C. 102D. 103Hướng dẫn giảiChọn DĐiều kiện x ≥ – 1

Đặt

Ta được phương trình 2 t = t2 – 1 + m ⇔ m = – t2 + 2 t + 1Xét hàm số f ( t ) = – t2 + 2 t + 1, t ≥ 0f ’ ( t ) = – 2 t + 2 = 0 ⇔ t = 1Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi m ≤ 2 ⇒ – 100 ≤ m ≤ 2Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn nhu cầu

Bài tập 2. Cho phương trình (m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn là đoạn [a; b]. Giá trị của biểu thức T = -a + 2b là

A. T = 4

B.

C. T = 3

D.

Hướng dẫn giảiChọn A

Đặt

Xét hàm số

trên đoạn trên đoạn

Vì

nên t ∈ [1; 3]nên t ∈ [ 1 ; 3 ]

Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m(t + 1) = t2 – 2 có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] ⇔

có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] (1)có nghiệm thuộc đoạn [ 1 ; 3 ] ( 1 )

Xét hàm số

trên đoạn [1; 3]trên đoạn [ 1 ; 3 ]

, ∀ t ∈ [1; 3]  khi hàm số đồng biến trên đoạn [1; 3], ∀ t ∈ [ 1 ; 3 ] khi hàm số đồng biến trên đoạn [ 1 ; 3 ]

Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì

Vậy

⇒ T = 4

Bài tập 3. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình (x, y ∈ ℝ) có nghiệm là  m0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

⇒ T = 4A. m0 ∈ ( – 20 ; – 15 )B. m0 ∈ ( – 12 ; – 8 )

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn D

Ta có

Từ ( 1 ) suy ra y = 2 – x thay vào ( 2 ) ta được ( 2 ) ⇒ x4 + ( 2 – x ) 4 = m ( 3 )Xét hàm số f ( x ) = x4 + ( 2 – x ) 4 có tập xác lập D = ℝf ’ ( x ) = 4×3 – 4 ( 2 – x ) 3 ⇒ f ’ ( x ) = 0 ⇔ x3 = ( 2 – x ) 3 ⇔ x = 2 – x ⇔ x = 1Bảng biến thiên

Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình ( 3 ) có nghiệm thựcDựa vào bảng biến thiên ta được m ≥ 2 ⇒ m0 = 2 ⇒

Dạng 13. Tìm m để bất phương trình F(x; m) > 0; F(x; m) ≥ 0; F(x; m) < 0; F(x; m) ≤ 0 có nghiệm trên tập D.

Phương pháp giải

Thực hiện theo những bước sau

• Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng g(m) > f(x) hoặc g(m) ≥ f(x) hoặc g(m) < f(x) hoặc g(m) ≤ f(x)
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D
• Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m
• Bước 4. Kết luận

Chú ý : Nếu hàm số f ( x ) liên tục và có giá trị lớn nhất ; giá trị nhỏ nhất trên D thì+ ) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) có nghiệm trên D ⇔ g ( m ) ≤ max f ( x )+ ) Bất phương trình g ( m ) ≤ f ( x ) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ min f ( x )+ ) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) có nghiệm trên D ⇔ g ( m ) ≥ min f ( x )+ ) Bất phương trình g ( m ) ≥ f ( x ) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g ( m ) ≥ max f ( x )

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) là

A. m < 5B. m ≤ - 3C. m ≤ 1D. m ≥ 3Hướng dẫn giảiChọn B

Bất phương trình đã cho tương đương với

Xét hàm số

trên khoảng (-∞; 1)trên khoảng chừng ( – ∞ ; 1 )

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) thì m ≤ -3

Bài tập 2. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 2019] để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1;1]. Số các phần tử của tập S là

có nghiệm trên khoảng chừng ( – ∞ ; 1 ) thì m ≤ – 3A. 1B. 2020C. 2019D. 2Hướng dẫn giảiChọn C

Đặt

, với x ∈ [-1;1] ⇒ t ∈ [0;1], với x ∈ [ – 1 ; 1 ] ⇒ t ∈ [ 0 ; 1 ]Bất phương trình đã cho trở thành t3 – t2 + 1 – m ≤ 0 ⇔ m ≥ t3 – t2 + 1 ( 1 )Yêu cầu của bài toán tương tự với bất phương trình ( 1 ) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0 ; 1 ]Xét hàm số f ( t ) = t3 – t2 + 1 ⇒ f ’ ( t ) = 3 t2 – 2 t

f’(t) = 0 ⇔

Vì  f (0) = f (1) = 1;

nên nênDo đó bất phương trình ( 1 ) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0 ; 1 ] khi và chỉ khi m ≥ 1Mặt khác m là số nguyên thuộc [ 0 ; 2019 ] nên m ∈ { 1 ; 2 ; 3 ; … ; 2019 }Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn nhu cầu bài toán .

Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [-1; 3] và có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình

có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khicó nghiệm thuộc [ – 1 ; 3 ] khi và chỉ khiA. m ≤ 7B. m ≥ 7

C.

D.

Hướng dẫn giảiChọn A

Xét hàm số

trên đoạn [-1; 3]trên đoạn [ – 1 ; 3 ]

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi x = 3

Suy ra

tại x = 3 (1)tại x = 3 ( 1 )

Mặt khác dựa vào đồ thị của f(x) ta có

tại x = 3 (2)tại x = 3 ( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra

tại x = 3tại x = 3Vậy bất phương trình có  nghiệm  thuộc  [-1; 3]  khi và chỉ khi ⇔ m ≤ 7

Tài liệu tìm GTLN GTNN của hàm số

có nghiệm thuộc [ – 1 ; 3 ] khi và chỉ khi ⇔ m ≤ 7Bộ tài liệu về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số cực hay giúp bạn nắm vững chuyên đề này và tiếp xúc với nhiều dạng bài nhất hoàn toàn có thể. Hãy tìm một tài liệu tương thích với bản thân và điều tra và nghiên cứu .

#1. Các dạng toán GTLN GTNN thường gặp trong kỳ thi THPT QG

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Nguyễn Bảo Vương
Số trang	66
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Dạng 1. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trải qua đồ thị của nó .– Dạng 2. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a ; b ] .– Dạng 3. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng chừng ( a ; b ) .– Dạng 4. Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán trong thực tiễn .– Dạng 5. Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo cho trước .– Dạng 6. Bài toán GTLN-GTNN tương quan đến đồ thị đạo hàm .– Dạng 7. Ứng dụng GTLN-GTNN vào bài toán đại số .

#2. Bài tập GTLN GTNN của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Lê Bá Bảo
Số trang	71
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Dạng toán 1 : Tìm GTLN GTNN trên khoảng chừng ( nửa khoảng chừng – đoạn )– Dạng toán 2 : Max min hàm nhiều biến– Dạng toán 3 : Bài toán thực tiễn – tối ưu– Dạng toán 4 : Phương trình – bất phương trình– Dạng toán 5 : Bài toán tham số

#3. Bài tập vận dụng cao GTLN GTNN của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Giáo viên THPT Đầm Dơi
Số trang	130
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : Tìm GTLN GTNN của hàm số theo công thức– Dạng 2 : Tìm GTLN GTNN của hàm nhiều biến– Dạng 3 : Bài toán ứng dụng– Dạng 4 : Ứng dụng GTLN GTNN vào tìm số nghiệm của phương trình và bất phương trình

#4. Tổng ôn trắc nghiệm GTLN GTNN của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Nguyễn Vương
Số trang	82
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .– Tìm m để GTLN GTNN thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo K nào đó .– Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối ( Bài toán chứa tham số ) .– Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp .– Ứng dụng GTLN – GTNN giải bài toán thực tiễn .

#5. GTLN GTNN của hàm giá trị tuyệt đối

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Trần Minh Ngọc
Số trang	17
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :Trong đề tìm hiểu thêm của Bộ GD lần 1 và lần 2, cũng như đề thi thử của những sở giáo dục, những trường đại trà phổ thông năm 2020 thường có bài toán tương quan đến GTLN-GTNN của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. Để xử lý được những dạng toán này những em cần ghi nhớ bài toán tổng quát trong tài liệu .

#6. Bài tập GTLN GTNN của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Trung tâm luyện thi Đại Học Amsterdam
Số trang	65
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Lý thuyết giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số .– Dạng 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ a ; b ] .– Dạng 2 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng chừng nửa khoảng chừng .– Dạng 3 : Xác định tham số m để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa điều kiện kèm theo cho trước .– Dạng 4 : Các bài toán thực tiễn .

#7. Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệp GTLN GTNN của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang	35
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Tổng hợp trắc nghiệm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số– Phần trắc nghiệm– Phần đáp án.

#8. Các bài tập VDC GTLN và GTNN của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang	36
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f ( x ) trên một khoảng chừng .– Dạng 2 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn .– Dạng 3 : Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = | f ( x ) | trên đoạn [ a ; b ] .– Dạng 4 : Tìm điều kiện kèm theo tham số để GTLN của hàm số y = | f ( x ) + g ( m ) | trên đoạn [ a ; b ] đạt GTNN .– Dạng 5 : TÌM GTLN-GTNN khi cho đồ thị – bảng biến thiên .– Dạng 6 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác .– Dạng 7 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác .– Dạng 8 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến .– Dạng 9 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( u ( x ) ), y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) … khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ( x ) .– Dạng 10 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hợp khi biết đồ thị của hàm số y f ‘ ( x ) .– Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong những bài toán thực tiễn .– Dạng 12 : Dạng 12. Tìm m để F ( x ; m ) = 0 có nghiệm trên tập D .– Dạng 13 : Tìm m để bất phương trình chứa tham số m có nghiệm trên tập D .

#9. GTLN GTNN của hàm hợp hàm liên kết

Thông tin tài liệu
Tác giả	Đặng Việt Đông
Số trang	91
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : GTLN, GTNN liên quan hàm số khi biết BBT, đồ thị– Dạng 2 : GTLN, GTNN hàm link khi biết BBT, đồ thị– Dạng 3 : GTLN, GTNN hàm số có tham số không chứa giá tuyệt đối– Dạng 4 : GTLN, GTNN hàm trị tuyệt đối chứa tham số .

#10. GTNN GTLN của hàm số trị tuyệt đối

Thông tin tài liệu
Tác giả
Số trang
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : Tìm GTLN – GTNN thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo đơn cử– Dạng 2 : Tìm điều kiện kèm theo của tham số– Dạng 3 : Bài toán max đạt min– Dạng 4 : Bài toán min đạt min– Các bài tập vận dụng – vận dụng cao trong những đề thi

Bài viết tổng hợp chi tiết về các dạng bài tập tìm GTLN, GTNN của hàm số. Mong rằng qua bài học hôm nay, bạn đọc có thể nắm vững chi tiết về các dạng bài tập mà VerbaLearn Math vừa giới thiệu. Nếu có bất kì thắc mắc gì từ bài học, bạn có thể liên hệ với chúng tôi bằng cách để lại bình luận xuống phía bên dưới nhé.

Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc nhìn nào đó, tất cả chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong đời sống và cần phải hiểu rõ về thực chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm xúc rất như mong muốn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy hoàn toàn có thể tiếp cận nhiều học viên hơn .

Source: https://vietnamgottalent.vn
Category: Học tập