Monday, 05 December, 2022

Vietnam's Got Talent - vietnamgottalent.vn

Cực trị của hàm số | Lý thuyết & phân dạng bài tập (Kèm tài liệu)


articlewriting1

Cực trị hàm số là một mảng kiến thức khá quan trọng của chuyên đề hàm số thuộc chương trình toán lớp 12 và ứng dụng thi đại học. Xem thêm nhiều dạng bài tập và điểm lý thuyết khó trong bài viết sau đây sẽ giúp bạn hiểu hơn về mảng kiến thức này.

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số hoàn toàn có thể đạt được. Trong hình học, nó trình diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số .

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác lập trên K ( K ⊂ ℝ ) và x0 ∈ Ka ) x0 được gọi là điểm cực lớn của hàm số f nếu sống sót một khoảng chừng ( a ; b ) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f ( x ) < f ( x0 ), ∀ x ∈ ( a ; b ) \ { x0 }→ Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực lớn của hàm số f .b ) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu sống sót một khoảng chừng ( a ; b ) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f ( x ) > f ( x0 ), ∀ x ∈ ( a ; b ) \ { x0 }→ Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .Chú ý :1 ) Điểm cực lớn ( cực tiểu ) x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực lớn ( cực tiểu ) f ( x0 ) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số hoàn toàn có thể đạt cực lớn hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K .2 ) Nói chung, giá trị cực lớn ( cực tiểu ) f ( x0 ) không phải là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của hàm số f trên tập K ; f ( x0 ) chỉ là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của hàm số f trên một khoảng chừng ( a ; b ) chứa x0 .3 ) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .

Định nghĩa cực trị hàm số

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị :

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ’ ( x0 ) = 0 .Chú ý :1 ) Điều ngược lại hoàn toàn có thể không đúng. Đạo hàm f ’ hoàn toàn có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .2 ) Hàm số hoàn toàn có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm .Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

a ) Nếu f ’ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 ( theo chiều tăng ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .

Định nghĩa về điểm cực tiểu

b ) Nếu f ’ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 ( theo chiều tăng ) thì hàm số đạt cực lớn tại x0 .

Định nghĩa về điểm cực đại

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng chừng ( a ; b ) chứa điểm x0, f ’ ( x0 ) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .a ) Nếu f ’ ’ ( x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực lớn tại điểm x0 .b ) Nếu f ’ ’ ( x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .c ) Nếu f ’ ’ ( x0 ) = 0 thì ta chưa thể Tóm lại được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm .

Phân dạng bài tập cơ bản về cực trị hàm số

Dạng 1: Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Phương pháp :

Quy tắc I

  • Tìm tập xác định.
  • Tính y’ = f’(x). Tìm x khi f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
  • Tính các giới hạn cần thiết.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Kết luận các điểm cực trị.

Quy tắc II

  • Tìm tập xác định.
  • Tính y’ = f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2,… (nếu có) của nó.
  • Tính  f’’(x) và suy ra f’’(x1), f’’(x2),…
  • Dựa vào dấu f’’(x1), f’’(x2),… để kết luận.

Ghi nhớ: Quy tắc II không dùng được trong trường hợp f’(x) = 0 vô nghiệm hoặc cuc tri cua ham so 1

Ví dụ 1.  Cho hàm số y = x4 – 2×2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2B. 3C. 1D. 0Lời giải :Chọn BTập xác lập : D = ℝ .Đạo hàm : y ’ = 4×3 – 4 x = 4 x ( x2 – 1 )

y’ = 0 cuc tri cua ham so 2

Giới hạn: cuc tri cua ham so 3

Bảng biến thiên :

Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Ta thấy : Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1, giá trị cực tiểu là yCT = 0 ; hàm số đạt cực lớn tại x = 0, giá trị cực lớn là yCĐ = 1. Do đó hàm số có ba cực trị .

Ví dụ 2. Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x3 – 3x +1.

A. x0 = 2B. x0 = 1C. x0 = – 1D. x0 = 3Lời giải :Chọn CTập xác lập : D = ℝ .Đạo hàm : y ’ = 3×2 – 3

y’ = 0 cuc tri cua ham so 4

Giới hạn: cuc tri cua ham so 5

Bảng biến thiên :

cuc tri cua ham so 5

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực lớn tại x0 = – 1 .

Ví dụ 3. Hàm số cuc tri cua ham so 6 có bao nhiêu cực trị?

A. 3B. 0C. 2D. 1Lời giải :Chọn BTập xác lập : D = ℝ \ { 2 }

Ta có cuc tri cua ham so 7

Giới hạn cuc tri cua ham so 8

Bảng biến thiên :

cuc tri cua ham so 6

Ta thấy hàm số đã cho không có cực trị .

Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đạo hàm (cho sẵn).

Một số tính chất cần lưu ý

Cho hàm số f ( x ), g ( x ) cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó :– [ k ․ f ( x ) ] ’ = k ․ f ’ ( x ) với k là hằng số– [ f ( x ) ․ g ( x ) ] ’ = f ’ ( x ) ․ g ( x ) + f ( x ) ․ g ’ ( x )– [ f ( u ) ] ’ = u ’ ․ f ’ ( u )– [ f ( x ) ± g ( x ) ] ’ = f ’ ( x ) ± g ’ ( x )

cuc tri cua ham so 9

– y = f(x) cuc tri cua ham so 10

y = f(u)

Phương  pháp  chung

y = f ( u )– Đặt g ( x ) là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g ’ ( x ) .– Kết hợp những nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng ( hiệu ) những biểu thức để có được bảng xét dấu cho g ’ ( x ) .– Dựa vào bảng xét dấu dành cho g ’ ( x ) để Kết luận về cực trị của hàm số .– Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng ( hiệu ) những biểu thức :

Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đạo hàm (cho sẵn).

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên

cuc tri cua ham so 8

Khẳng định nào sau đây là khẳng định chắc chắn đúng ?A. Hàm số y = f ( x ) có giá trị cực tiểu bằng 1B. Hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1C. Hàm số y = f ( x ) đạt cực lớn tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1D. Hàm số y = f ( x ) có đúng một cực trịLời giải :Chọn CDựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1Tại x = 0 mặc dầu đạo hàm f ’ ( x ) không sống sót nhưng hàm số f ( x ) vẫn xác lập và liên tục nên hàm số đạt cực lớn tại x = 0 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

cuc tri cua ham so 9

Khẳng định nào sau đây sai ?A. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng chừng ( 0 ; 4 )B. Hàm số y = f ( x ) đạt cực lớn tại điểm x = 0C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên những khoảng chừng ( – ∞ ; 0 ) và ( 4 ; + ∞ )D. Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trịLời giải :Chọn DTại x = 0 dù đạo hàm không xác lập nhưng hàm số y = f ( x ) vẫn xác lập và liên tục nên hàm số đạt cực lớn tại x = 0. Tại x = 4 thì hàm số y = f ( x ) không xác lập, thế cho nên hàm số không có cực trị tại x = 4 .Do đó hàm số chỉ có duy nhất một cực trị .

Ví dụ 3. Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có y’ = (1 + x)(x + 2)2(x – 3)3(1 – x2). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A. ( C ) có một điểm cực trịB. ( C ) có hai điểm cực trịC. ( C ) có ba điểm cực trịD. ( C ) có bốn điểm cực trịLời giải :Chọn BXét đạo hàm : y ’ = ( 1 + x ) ( x + 2 ) 2 ( x – 3 ) 3 ( 1 – x2 ) = ( 1 + x ) 2 ( x + 2 ) 2 ( x – 3 ) 3 ( 1 – x )

y’ = 0 cuc tri cua ham so 11

Vì x = – 1, x = – 2 là những nghiệm kép của y ’ nên y ’ không đổi dấu khi qua hai điểm này ; x = 1, x = 3 là nghiệm kép của y ’ nên y ’ đổi dấu khi qua những điểm x = 1, x = 3 .Do đó hàm số có hai điểm cực trị x = 1, x = 3 .Cần nhớ : Cho n là số nguyên dương .

cuc tri cua ham so 10

⇔ (x – x1)2 = 0 ⇔ x = x1 (ta nói x1  là nghiệm kép của phương trình).⇔ ( x – x = 0 ⇔ x = x ( ta nói xlà nghiệm kép của phương trình ) .

cuc tri cua ham so 11

⇔ (x – x2)1 = 0 ⇔ x = x2 (ta nói x2 là nghiệm đơn của phương trình).

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f’(x) như sau

⇔ ( x – x = 0 ⇔ x = x ( ta nói xlà nghiệm đơn của phương trình ) .

cuc tri cua ham so 12

Hỏi hàm số y = f ( x2 – 2 x ) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?A. 4B. 2C. 3D. 1Lời giải :Chọn DĐặt g ( x ) = f ( x2 – 2 x )Ta có g ’ ( x ) = ( 2 x – 2 ) ․ f ’ ( x2 – 2 x )Xét g ’ ( x ) ≥ 0 ⇔ ( 2 x – 2 ) ․ f ’ ( x2 – 2 x ) ≥ 0

cuc tri cua ham so 15

Hợp nghiệm của (*), (**) ta có g’(x) ≥ 0 cuc tri cua ham so 16

Do đó g’(x) ≤ 0 cuc tri cua ham so 17

Ta có bảng biến thiên :

cuc tri cua ham so 13

Vậy hàm số y = g ( x ) = f ( x2 – 2 x ) có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1 .

Ví dụ 5. Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Bảng xét dấu bên dưới là của đạo hàm f’(x). Hàm số cuc tri cua ham so 18 có bao nhiêu điểm cực trị?

cuc tri cua ham so 14

A. 1B. 2C. 3D. 4Lời giải :Chọn C

Ta có cuc tri cua ham so 19

g’(x) = 0 cuc tri cua ham so 20

Bảng xét dấu :

cuc tri cua ham so 15

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.có 3 điểm cực trị .

Lưu ý: Để xét dấu g’(x), ta chọn một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào lần lượt các hàm x + 1, cuc tri cua ham so 21

để xét dấu chúng. Sau cùng sẽ suy ra dấu của g’(x) là tích của hai hàm trên. Chẳng hạn:để xét dấu chúng. Sau cùng sẽ suy ra dấu của g ’ ( x ) là tích của hai hàm trên. Chẳng hạn :

– Để xét dấu g’(x) trên khoảng cuc tri cua ham so 22

ta chọn giá trị x0 = 2 ∈, thay số 2 vào x + 1, ta được dấu dương (+), thay 2 vào cuc tri cua ham so 23 ta được cuc tri cua ham so 24 > 3 nên cuc tri cua ham so 25 mang dấu dương (+) (xem bảng biến thiên ban đầu). Vì vậy mà dấu của g’(x) cũng là dấu dương (+).ta chọn giá trị x = 2 ∈, thay số 2 vào x + 1, ta được dấu dương ( + ), thay 2 vàota được > 3 nênmang dấu dương ( + ) ( xem bảng biến thiên khởi đầu ). Vì vậy mà dấu của g ’ ( x ) cũng là dấu dương ( + ) .

– Để xét dấu g’(x) trên khoảng cuc tri cua ham so 26

, ta chọn giá trị x0 = 1 ∈, thay số 1 vào x + 1 ta được dấu dương (+), thay số 1 vào ta được cuc tri cua ham so 27 ∈ (1;3) do đó cuc tri cua ham so 28 mang dấu âm (–) (xem bảng biến thiên ban đầu). Vì vậy mà dấu của g’(x) là dấu âm (–). Bằng cách thức này, ta có thể xét dấu g’(x) trên các khoảng còn lại và có được bảng xét dấu như lời giải trên.

Ví dụ 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

, ta chọn giá trị x = 1 ∈, thay số 1 vào x + 1 ta được dấu dương ( + ), thay số 1 vàota được ∈ ( 1 ; 3 ) do đómang dấu âm ( – ) ( xem bảng biến thiên khởi đầu ). Vì vậy mà dấu của g ’ ( x ) là dấu âm ( – ). Bằng phương pháp này, ta hoàn toàn có thể xét dấu g ’ ( x ) trên những khoảng chừng còn lại và có được bảng xét dấu như giải thuật trên .

cuc tri cua ham so 16

A. 3B. 1C. 2D. 0Lời giảiChọn AHàm số có ba điểm cực trị .

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

cuc tri cua ham so 17

Tìm giá trị cực lớn yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho .A. yCĐ = 2 và yCT = 0B. yCĐ = 3 và yCT = 0C. yCĐ = 3 và yCT = – 2D. yCĐ = – 2 và yCT = 2Lời giảiChọn BDựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có yCĐ = 3 và yCT = 0

Ví dụ 8. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

cuc tri cua ham so 18

Hàm số đạt cực lớn tại :A. x = – 2B. x = 3C. x = 1D. x = 2Lời giảiChọn CHàm số f ( x ) xác lập tại x = 1, f ’ ( 1 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ ( + ) sang ( – ) .

Ví dụ 9. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c ∈ ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên.

cuc tri cua ham so 19

Số điểm cực trị của hàm số đã cho làA. 3B. 0C. 1D. 2Lời giảiChọn A

Dạng 3: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm số

Ta có : y = ax3 + bx2 + cx + d ( * )⟶ y ’ = 3 ax2 + 2 bx + c

Phương pháp:

Điều kiện để hàm số có n cực trị hoặc không có cực trị .Ta xét bảng sau ( a và ∆ là của đạo hàm y ’ ) :

Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*) ⟶ y’ = 3ax2 + 2bx + c

Từ bảng trên, ta khẳng định:

– Hàm số (*) có hai cực trị cuc tri cua ham so 29

. Ta có thể thay ∆ > 0 bởi ∆’ > 0.. Ta hoàn toàn có thể thay ∆ > 0 bởi ∆ ’ > 0 .

– Hàm số (*) có một cực trị cuc tri cua ham so 30

– Hàm số (*) có cực trị cuc tri cua ham so 31

– Hàm số (*) không có cực trị cuc tri cua ham so 32

      .

Điều kiện cực trị cơ bản:

– Hàm số có cực trị tại x = x0Ta có : y ’ ( x0 ) = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi Kết luận nhận hay loại giá trị m này .– Hàm số đạt cực lớn tại x = x0 ( hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 )Ta có : y ’ ( x0 ) = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi Tóm lại nhận hay loại giá trị m này ( hoặc hoàn toàn có thể thay m tìm được vào đạo hàm cấp hai để xét dấu xem có tương thích không ) .Đồ thị hàm số có điểm cực trị là M ( x0 ; y0 )

Ta có: cuc tri cua ham so 33

⟶ tìm được m. Thay m trở lại đạo hàm để kiểm tra đạo hàm có đổi dấu khi x đi qua x0 hay không.⟶ tìm được m. Thay m trở lại đạo hàm để kiểm tra đạo hàm có đổi dấu khi x đi qua xhay không .Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A ( xA ; yA ), B ( xB ; yB )

Ta có: cuc tri cua ham so 34

⟶ tìm được m, n,…⟶ tìm được m, n, …Điều kiện cực trị tương quan đến những trục tọa độ :

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Oy cuc tri cua ham so 35

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Oy cuc tri cua ham so 36

Để ý: Trong điều kiện trên, ta đã thay điều kiện cuc tri cua ham so 37

bởi ac < 0. Lý do là hai số trái dấu đồng nghĩa với tích và thương của chúng là một số âm. Một khi a, c trái dấu rồi thì điều kiện a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac > 0 luôn được thỏa mãnbởi ac < 0. Lý do là hai số trái dấu đồng nghĩa tương quan với tích và thương của chúng là một số âm. Một khi a, c trái dấu rồi thì điều kiện kèm theo a ≠ 0, ∆ = b – 4 ac > 0 luôn được thỏa mãn nhu cầu

Vì vậy cuc tri cua ham so 38

Ta có đổi khác tương tự sau đây ( tương thích trắc nghiệm ) :

cuc tri cua ham so 39

– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Ox cuc tri cua ham so 40

– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Ox cuc tri cua ham so 41

( trong hai điều kiện kèm theo trên thì y1, y2 là hai giá trị cực trị của hàm số bậc ba ) .

– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Ox cuc tri cua ham so 42

– Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Oy cuc tri cua ham so 43

( I là điểm uốn )

Lưu ý: Cách tìm điểm uốn I đồ thị bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 là: y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’’ = 6ax + 2b cuc tri cua ham so 44

, thay cuc tri cua ham so 45 vào hàm số ban đầu để tìm yI ⇒ I(xI; yI)., thayvào hàm số khởi đầu để tìm y ⇒ I ( x ; y ) .Các công thức giải tích tương quan :a ) Định lí Vi-ét : Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( * ) có hai nghiệm x1, x2

Ta có: cuc tri cua ham so 46

b ) Công thức nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( * )

(*) có hai nghiệm phân biệt cuc tri cua ham so 47

( * ) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0

(*) có hai nghiệm dương phân biệt cuc tri cua ham so 48

(*) có hai nghiệm âm phân biệt cuc tri cua ham so 49

.c ) Công thức hình học giải tích trong mặt phẳng :

Nếu △ABC có cuc tri cua ham so 50

thì cuc tri cua ham so 51thì△ ABC ⊥ tại A H52 ⇔ b1c1 + b2c2 = 0

cuc tri cua ham so 53

Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ) đến ∆: ax + by + c = 0 là cuc tri cua ham so 54

Đặc biệt : d ( M ; Ox ) = | yM |, d ( M ; Oy ) = | xM |

Ví dụ 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = ⅓x3 + mx2 + (m + 6) x – 2m + 1 có cực đại, cực tiểu.

A. m ∈ ( – ∞ ; – 3 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )B. m ∈ ( – ∞ ; – 3 ) ∪ ( – 2 ; + ∞ )C. m ∈ ( – ∞ ; – 2 ) ∪ 3 ; + ∞ )D. m ∈ ( – ∞ ; 2 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )Lời giải :Chọn CTập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = x2 + 2 mx + m + 6Ta thấy a = 1 ≠ 0. Hàm số có cực lớn, cực tiểu ⇔ y ’ đổi dấu hai lần trên tập xác lập

⇔ ∆’ > 0 ⇔ m2 – (m + 6) > 0 cuc tri cua ham so 55

Ví dụ  2. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 2) x3 + 3×2 + mx – 6 có 2 cực trị ?

A. m ∈ ( – 3 ; 1 ) \ { 2 }B. m ∈ ( – 3 ; 1 )C. m ∈ ( – ∞ ; – 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )D. m ∈ [ – 3 ; 1 ]Lời giải :Chọn ATập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 3 ( m + 2 ) x2 + 6 x + m

Hàm số có hai cực trị cuc tri cua ham so 56

Ví dụ 3. Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số y = = ⅓(m – 1) x3 – mx2 + mx – 5  có cực trị là:

A. cuc tri cua ham so 57

B. m ≠ 1C. m > 0D. m ≥ 0Lời giải :Chọn CTập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = ( m – 1 ) x2 – 2 mx + m

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi cuc tri cua ham so 58

cuc tri cua ham so 59

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x3 – 2×2 + (m + 3) x – 1 không có cực trị?

A. cuc tri cua ham so 60

B. cuc tri cua ham so 61

C. cuc tri cua ham so 62

D. cuc tri cua ham so 63

Lời giải :Chọn ATập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 3×2 – 4 x + m + 3Ta thấy a = 1 ≠ 0. Vậy hàm số không có cực trị ⇔ ∆ ’ ≤ 0⇔ ( – 2 ) 2 – 3 ( m + 3 ) ≤ 0 ⇔ – 3 m – 5 ≤ 0 ⇔Ví dụ 5. Giá trị của m để hàm số y = x3 – 3 mx2 + 3 ( mét vuông – 1 ) x + m đạt cực lớn tại x = 1 làA. m = – 1B. m = – 2C. m = 2D. m = 0Lời giảiChọn CTập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 3×2 – 6 mx + 3 ( mét vuông – 1 )

Hàm số có cực đại tại x = 1 nên y’(1) = 0 ⇒ 3 – 6m + 3(m2 – 1) = 0 ⇒ cuc tri cua ham so 63a

Xét m = 0. Ta có y ’ = 3×2 – 3 ; y ’ ’ = 6 x. Khi đó y ’ ’ ( 1 ) = 6 > 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ( loại m = 0 vì trái giả thiết ) .Xét m = 2. Ta có y ’ = 3×2 – 12 x + 9 ; y ’ ’ = 6 x – 12. Khi đó y ’ ’ ( 1 ) = – 6 < 0. Do đó hàm số đã cho đạt cực lớn tại x = 1 .Vậy m = 2 thỏa mãn nhu cầu đề bài .

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx3 + x2 + (m2 – 6) x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1

A. cuc tri cua ham so 63b

B. m = 1C. m = – 4D. m > – ⅓Lời giải :Tập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 3 mx2 + 2 x + mét vuông – 6Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y ’ ( 1 ) = 0 ⇒ 3 m + 2 + mét vuông – 6 = 0 ⇒Xét m = 1. Ta có y ’ = 3×2 + 2 x – 5 ; y ’ ’ = 6 x + 2. Khi đó y ’ ’ ( 1 ) = 8 > 0, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1. Vì vậy m = 1 thỏa mãn nhu cầu .Xét m = – 4. Ta có y ’ = – 12×2 + 2 x + 10 ; y ’ ’ = – 24 x + 2. Khi đó y ’ ’ ( 1 ) = – 22 < 0, suy ra hàm số đạt cực lớn tại x = 1. Điều này trái với giả thiết nên ta loại m = - 4 .

Dạng 4: Bài toán tham số có liên quan đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*)

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị y = ax3 + bx2 + cx + d ( * ) :Giả sử đồ thị hàm số ( * ) có hai điểm cực trị, ta thực thi theo những cách sau để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó :Phương pháp tự luận :Chia f ( x ) cho f ’ ( x ) như sau :

Bài toán tham số có liên quan đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*)

Khi đó, hàm số được viết lại : f ( x ) = f ’ ( x ) ․ Q ( x ) + αx + βTọa độ những điểm cực trị thỏa H64 hay f ( x ) = αx + βPhương pháp Trắc nghiệm :

– Cách viết 1: cuc tri cua ham so 65

– Cách viết 2: cuc tri cua ham so 66

Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( * ) :Xét hình dáng đồ thị hàm bậc ba bên dưới ( đồ thị có hai điểm cực trị A, B ), nhìn vào đồ thị tại lân cận điểm A, ta thấy bề lõm của nó hướng xuống ( lồi ) ; nhìn vào đồ thị tại lân cận điểm B, ta thấy bề lõm của nó hướng lên trên ( lõm ). Vậy sẽ có một ranh giới để đồ thị chuyển từ lồi sang lõm, ranh giới ấy được gọi là điểm uốn của đồ thị ( trong hình là điểm I ) .– Đặc biệt : Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B thì I sẽ là trung điểm của đoạn AB .

cuc tri cua ham so 22

cuc tri cua ham so 23

Cách tìm điểm uốn I :– Bước 1 : Tính y ’ = 3 ax2 + 2 bx + c, y ’ ’ = 6 ax + 2 b– Bước 2 : Cho y ’ ’ = 6 ax + 2 b = 0, thay vào hàm số để yI. Từ đây ta có điểm uốn I(xI; yI) của đồ thị hàm bậc ba., thay vào hàm số để y. Từ đây ta có điểm uốn I ( x ; y ) của đồ thị hàm bậc ba .Tính chất quan trọng : Điểm uốn I chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba tức là bất kể đường thẳng nào qua I nếu cắt đồ thị tại hai điểm còn lại M, N thì I luôn là trung điểm đoạn MN .

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x3 – x + m (1). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

A. cuc tri cua ham so 68

B. y = – x – m

C. cuc tri cua ham so 69

D. cuc tri cua ham so 70

Đánh giá :Với bài toán này, xin được hướng dẫn hai cách để bạn đọc lựa chọn giải pháp tối ưu cho mình .– Cách giải 1 : Làm theo lý luận truyền thống lịch sử .– Cách giải 2 : Dựa vào công thức đã cung ứng .Với cách giải 1, ta thực thi phép chia y cho y ’ trong giấy nháp như sau :

cuc tri cua ham so 24

Lời giải :Cách giải 1 :Chọn DTập xác lập : D = ℝ

Đạo hàm: y’ = 3×2 – 1; y’ = 0 cuc tri cua ham so 71

nên hàm số luôn có 2 cực trị.nên hàm số luôn có 2 cực trị .

Hàm số được viết lại cuc tri cua ham so 72

Tọa độ những điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn thỏa mãn nhu cầu :

cuc tri cua ham so 73

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là

Cách giải 2 :Tập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 3×2 – 1 ; y ’ = 0 nên hàm số luôn có 2 cực trị.nên hàm số luôn có 2 cực trị .Dựa vào công thức, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị như sau:, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị như sau :

cuc tri cua ham so 76

Ví dụ 2. Cho biết có một tham số m để đồ thị hàm số y = 2×3 + 3(m – 3) x2 + 11 – 3m có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C(0; -1) thẳng hàng. Tìm khẳng định đúng:

A. m ∈ ( 3 ; 6 )B. m ∈ ( 4 ; 7 )C. m ∈ ( 1 ; 4 )D. m ∈ ( – 1 ; 2 )Lời giải :Chọn ACách giải 1 : Chia y cho y ’ như sau :

cuc tri cua ham so 25

Tập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 6×2 + 6 ( m – 3 ) x

y’ = 0 ⇔ 6x(x + m – 3) = 0 ⇔ cuc tri cua ham so 77

Hàm số có hai cực trị ⇔ 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3Tọa độ những điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn thỏa mãn nhu cầu :

cuc tri cua ham so 78

⇔ y = -(m – 3)2 x + 11 – 3m⇔ y = – ( m – 3 ) x + 11 – 3 mĐiểm C ( 0 ; – 1 ) thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị nên – 1 = 11 – 3 m ⇔ m = 4 ( thỏa mãn nhu cầu ) .Cách giải 2 :Tập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 6×2 + 6 ( m – 3 ) xy ’ = 0 ⇔ 6 x ( x + m – 3 ) = 0 ⇔Hàm số có hai cực trị ⇔ 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3Áp dụng công thức, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị :

cuc tri cua ham so 79

⇔ y = 2×3 + 3 ( m – 3 ) x2 + 11 – 3 m – [ x2 + ( m – 3 ) x ] ( 2 x + m – 3 )⇔ y = 2×3 + 3 ( m – 3 ) x2 + 11 – 3 m – [ 2×3 + 3 ( m – 3 ) x2 + ( m – 3 ) 2 x ]⇔ – ( m – 3 ) 2 x + 11 – 3 mĐiểm C ( 0 ; – 1 ) thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị nên – 1 = 11 – 3 m ⇔ m = 4 ( thỏa mãn nhu cầu ) .

Ví dụ 3. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y = x3 – 3×2 – mx + 2 có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x – 1.

A. cuc tri cua ham so 80

B. – 3

C.  cuc tri cua ham so 81

D. 0Đánh giá : Phương trình y ’ = 0 ⇔ 3×2 – 6 x – m = 0 không hề cho ra nghiệm đẹp như ta muốn nên những bài toán tương quan tọa độ điểm cực trị đều cần đến phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị .Lời giải :Chọn DTập xác lập : D = ℝĐạo hàm : y ’ = 3×2 – 6 x – mHàm số có hai cực trị ⇔ ∆ ’ > 0 ⇔ 9 + 3 m > 0 ⇔ m > – 3 ( * )

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là ∆: cuc tri cua ham so 82

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng d : y = x – 1

cuc tri cua ham so 26

cuc tri cua ham so 27

Trường hợp 1: cuc tri cua ham so 83

(loại do (*))( loại do ( * ) )Trường hợp 2 : Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

cuc tri cua ham so 84

Điểm I là trung điểm của AB nên :

cuc tri cua ham so 85

cuc tri cua ham so 86

I ∈ d : y = x – 1 ⇔ – m = 1 – 1 ⇔ m = 0 ( thỏa mãn nhu cầu do ( * ) )

Dạng 5: Bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số y = ax4 + bx2 + c

Số cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c

Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b); y’ = 0 cuc tri cua ham so 87

Nhìn vào phương trình y ’ = 0, ta thấy luôn có một nghiệm x = 0. Do đó việc biện luận tiếp theo sẽ phụ thuộc vào vào phương trình ( * ). Từ ( * ) ta thấy :

Bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số y = ax4 + bx2 + c

Từ đây, ta hoàn toàn có thể chứng minh và khẳng định :Hàm số không có cực trị ⇔ a = b = 0Hàm số có cực trị ⇔ a2 + b2 > 0

Hàm số có một cực trị ⇔ cuc tri cua ham so 88

Hàm số có ba cực trị ⇔ a ․ b < 0Lưu ý : Việc sử dụng a2 + b2 > 0 là bộc lộ a, b không đồng thời bằng 0, tuy nhiên BPT a2 + b2 > 0 mang tính phức tạp do bậc của m hoàn toàn có thể ≥ 4. Để khắc phục điều này, ta dùng giải pháp phủ định như sau :

Xét cuc tri cua ham so 89

(Giải tìm) ⟶ cuc tri cua ham so 89a( Giải tìm ) ⟶

Quay lại giải a2 + b2 > 0 tức là lấy phủ định kết quả của bước một. Ta có cuc tri cua ham so 90

Tìm điều kiện kèm theo để hàm số y = ax4 + bx2 + c thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo K :– Bước 1 : Tập xác lập : D = ℝ. Đạo hàm : y ’ = 4 ax3 + 2 bx = 2 x ( 2 ax2 + b )

y’ = 0 ⇔ cuc tri cua ham so 91

– Bước 2 : Điều kiện hàm số có một cực trị ( hoặc có ba cực trị ) – Xem mục 1 ( kim chỉ nan ) .– Bước 3 : Dựa vào điều kiện kèm theo K đề tìm tham số m rồi so sánh điều kiện kèm theo có cực trị ( bước 2 ) trước khi Kết luận .Xử lý điều kiện kèm theo K ( Công thức trắc nghiệm ) :Hàm số có cực trị và thỏa mãn nhu cầu :

Hàm số có cực đại mà không có cực tiểu cuc tri cua ham so 92

cuc tri cua ham so 29

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại cuc tri cua ham so 93

cuc tri cua ham so 30

Ba cực trị tạo thành tam giác vuông hoặc đều, ta dùng công thức nhanh cuc tri cua ham so 94

Ba cực trị tạo thành tam giác vuông cuc tri cua ham so 95

Ba cực trị tạo thành tam giác đều cuc tri cua ham so 96

Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích quy hoạnh S .

cuc tri cua ham so 31

Ta dùng công thức nhanh bình phương diện tích: cuc tri cua ham so 97

Tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị là A(0;c), cuc tri cua ham so 98

với ∆ = b2 – 4acvới ∆ = b – 4 ac

Tam giác ABC có cuc tri cua ham so 99

Công thức diện tích khác: cuc tri cua ham so 100

; S = pr .Trong đó:; S = pr. Trong đó :R, r theo thứ tự là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giáca, b, c là độ dài ba cạnh ;

cuc tri cua ham so 101

là nửa chu vi tam giáclà nửa chu vi tam giác

cuc tri cua ham so 32

Ví dụ 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền [-10;10] để hàm số y = x4 – 2(2m + 1) x2 + 7 có ba điểm cực trị?

A. 20B. 10C. Vô sốD. 11 .Lời giải :Chọn DCách 1 : Tự luậnTập xác lập : D = ℝ .Ta có y ’ = 4×3 – 4 ( 2 m + 1 ) x

 y’ = 0 ⇔ 4×3 – 4(2m + 1) x = 0 cuc tri cua ham so 102

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ’ = 0 có ba nghiệm phân biệt⇔ Phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 2 m + 1 > 0 ⇔ m > – ½ .Vì m nguyên thuộc [ – 10 ; 10 ] nên m ∈ { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 }Cách 2 : Trắc nghiệmHàm số có ba cực trị khi và chỉ khi a ․ b < 0 ⇔ 1 ․ [ - 2 ( 2 m + 1 ) ] < 0 ⇔ 2 ( 2 m + 1 ) > 0 ⇔ m > – ½ .

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + (m2 – 9) x2 + 10 có 3 cực trị.

A. m ∈ ( 0 ; 3 )B. m ∈ ( 3 ; + ∞ )C. m ∈ ( – ∞ ; – 3 ) ∪ ( 0 ; 3 )D. m ∈ ( – 3 ; 0 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )Lời giải :Chọn CCách 1 : Tự luậnTập xác lập : D = ℝ .Ta có y ’ = 4 mx3 – 2 ( mét vuông – 9 ) x = 2 x ( 2 mx2 + mét vuông – 9 )

y’ = 0 ⇔ cuc tri cua ham so 103

Hàm số đã cho có 3 cực trị ⇔ y ’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

cuc tri cua ham so 104

Suy ra m ∈ ( – ∞ ; – 3 ) ∪ ( 0 ; 3 )Cách 2 : Trắc nghiệm

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0 ⇔ m (m2 – 9) < 0 cuc tri cua ham so 105

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 + (m – 1) x2 + 1 – 2m chỉ có một cực trị.

A. m ≥ 1B. m ≤ 0C. 0 ≤ m ≤ 1D. m ≤ 0 hoặc m ≥ 1Lời giải :Chọn DHàm số có một cực trị khi và chỉ khi

cuc tri cua ham so 106

⇔ m ≤ 0 ∨ m ≥ 1Vậy m m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 thỏa mãn nhu cầu đề bài

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số cuc tri cua ham so 107 có cực tiểu mà không có cực đại.

A. m ≥ 0B. m ≤ 0C. m ≥ 1D. m = – 1Nhận xét : Có hai trường hợp để hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực tiểu mà không có cực lớn :

Một là: Hàm bậc bốn có đúng một cực trị và là cực tiểu, khi đó: cuc tri cua ham so 108

Hai là: Hàm số trở thành hàm bậc hai (đồ thị parabol có bề lõm hướng lên), ta có: cuc tri cua ham so 109

Lời giải :Chọn B

Ta thấy cuc tri cua ham so 110

, vì vậy điều kiện bài toán tương đương với b ≥ 0 ⇔ -2m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0, vì thế điều kiện kèm theo bài toán tương tự với b ≥ 0 ⇔ – 2 m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0Vậy m ≤ 0 thỏa mãn nhu cầu đề bài .

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m2 – 1) x4 + mx2 + m – 2 chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu.

A. – 1,5 < m ≤ 0B. m ≤ - 1C. - 1 ≤ m ≤ 0D. - 1 < m < 0,5Lời giải :Chọn C

Hàm số có một điểm cực đại mà không có cực tiểu cuc tri cua ham so 111

Giải (1): cuc tri cua ham so 112

Giải (2): cuc tri cua ham so 113

Từ ( * ) và ( * * ) suy ra – 1 ≤ m ≤ 0

Dạng 6: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của những hàm số khác.

Hàm số phân thức bậc hai trên bậc một cuc tri cua ham so 114

Tập xác định: D = ℝ \ cuc tri cua ham so 115

Đạo hàm: cuc tri cua ham so 116

vớivới

cuc tri cua ham so 117

Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác cuc tri cua ham so 118

.Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị có phương trình :

cuc tri cua ham so 119

Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối :Hàm số y = | f ( x ) |

Đạo hàm: cuc tri cua ham so 120

Cho trước đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên D. Ta xác lập đồ thị hàm y = | f ( x ) | :– Bước 1 : Giữ nguyên phần đồ thị y = f ( x ) nằm phía trên trục hoành .– Bước 2 : Lấy đối xứng phần đồ thị y = f ( x ) nằm dưới trục hoành qua trục hoành .Hợp của hai phần trên ( bỏ phần dưới trục hoành ), ta được đồ thị hàm y = | f ( x ) | .Minh họa :Đồ thị y = f ( x )

Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của những hàm số khác.

Đồ thị y = | f ( x ) |

cuc tri cua ham so 34

Đúc kết :

Số cực trị hàm y = |f(x)| = số cực trị hàm y = f(x) + Số giao điểm (không tính tiếp xúc) cuc tri cua ham so 121

Hàm số y = f ( | x | ) :Cho trước đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục trên D. Ta xác lập đồ thị hàm y = f ( | x | )– Bước 1 : Giữ nguyên phần đồ thị y = f ( x ) nằm bên phải trục tung ( ứng với x ≥ 0 ) ; bỏ đi phần đồ thị y = f ( x ) nằm bên trái trục tung ( ứng với x < 0 )– Bước 2 : Lấy đối xứng phần đồ thị y = f ( x ) nằm bên phải trục tung qua trục tung .Hợp của hai phần trên, ta được đồ thị hàm y = f ( | x | )Minh họa :Đồ thị y = f ( x )

cuc tri cua ham so 35

Đồ thị y = f ( | x | )

cuc tri cua ham so 36

Đúc kết :Xét hàm đa thức f ( x ) có tập xác lập là ℝ ( chắc như đinh đồ thị hàm này sẽ cắt Oy tại một điểm ), ta có :Số cực trị hàm y = f ( | x | ) = 2 × Số cực trị nằm bên phải Oy của hàm y = f ( x ) + 1Để cho dễ nhớ, ta gọi n là số cực trị dương của hàm số y = f ( x ), khi ấy số cực trị của hàm số y = f ( | x | ) bằng 2 n + 1 .

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho hàm số cuc tri cua ham so 123 có cực đại, cực tiểu.

A. m ∈ ℝB. m = 0C. m = 1D. m = – 1Lời giải :Chọn ATập xác lập : D = ℝ \ { m } .

Đạo hàm: cuc tri cua ham so 124

Hàm số có cực lớn, cực tiểu ⇔ y ’ đổi dấu hai lần trên tập xác lập ⇔ g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m

cuc tri cua ham so 125

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị tham số m để điểm A(1; -3) cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cuc tri cua ham so 126tạo thành ba điểm không thẳng hàng.

A. cuc tri cua ham so 127

B. m ≠ 1

C. cuc tri cua ham so 128

D. cuc tri cua ham so 129

Lời giải :Chọn CTập xác lập : D = ℝ \ { – 1 } .

Đạo hàm: cuc tri cua ham so 130

Hàm số có hai cực trị ⇔ y ’ đổi dấu hai lần trên tập xác lập ⇔ g ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1

cuc tri cua ham so 131

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là d: cuc tri cua ham so 132

Điểm A ( 1 ; – 3 ) ∉ d ⇔ – 3 ≠ 2 ․ 1 + 2 m ⇔Vậy m < 1 và thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 3. Cho hàm số cuc tri cua ham so 133 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có giá trị cực đại là 7.

thỏa mãn nhu cầu đề bài .A. m = 7B. m = 5C. m = – 9D. m = – 5Lời giải :Chọn CĐiều kiện x ≠ m .

Đạo hàm: cuc tri cua ham so 134

y’ = 0 cuc tri cua ham so 135

Vì 1 – m ≠ – 1 – m, ∀ m ∈ ℝ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị ∀ m ∈ ℝ .Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là y = 2 x + mSuy ra y ( 1 – m ) = 2 – m, y ( – 1 – m ) = – 2 – mTa có bảng biến thiên :

cuc tri cua ham so 37

Ta có yCĐ = – 2 – m = 7 ⇔ m = – 9

Tài liệu về cực trị hàm số

Tổng hợp những tài liệu hay nhất cho chuyên đề cực trị của hàm số và những yếu tố tương quan. Các tài liệu đều được tinh lọc kĩ càng trước khi đăng tải .

#1. Bài tập cực trị của hàm số

Thông tin tài liệu 
Tác giả Thầy Diệp Tuân
Số trang 126
Lời giải chi tiết Không

Mục lục tài liệu

  • Lý thuyết cực trị của hàm số
  • Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số.
  • Dạng 2: Định tham số m để hàm số f (x) đạt cực trị.
  • Dạng 3: Ứng dụng cực trị giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.
  • Dạng 4: Xác định cực trị của hàm hợp khi biết đồ thị, BBT của hàm số con
  • Dạng 5: Cực trị của hàm giá trị tuyệt đối

bai tap cuc tri ham so van dung van dung cao 10

Tài liệu bài tập cực trị của hàm số - Diệp Tuân 1
Tài liệu bài tập cực trị của hàm số - Diệp Tuân 2
Tài liệu bài tập cực trị của hàm số - Diệp Tuân 3

#2. Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng Cao

Thông tin tài liệu
Số trang 72
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Kiến thức cơ bản cần nắm– Dạng 1 : Cho hàm số f ( x ) hoặc f ‘ ( x ). Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị– Dạng 2. Tìm ( điểm ) cực trị trải qua bảng xét dấu, bảng biến thiên của đạo hàm– Dạng 3. Tìm ( điểm ) cực trị trải qua đồ thị f, f ’, f ’ ’– Dạng 4 : Cực trị hàm bậc ba– Dạng 5. Cực trị hàm bậc bốn trùng phương– Dạng 6. Cực trị hàm phân thức– Dạng 7 : Cực trị của hàm chứa căn– Dạng 8 : Cực trị của hàm bậc cao và hàm lượng giác– Dạng 9 : Tìm cực trị của hàm số chứa trị tuyệt đối– Dạng 10 : Tìm cực trị của hàm số trị tuyệt đối nếu biết bảng biến thiên hoặc đồ thị– Dạng 11 : Một số bài toán sử dụng phép di dời đồ thị– Dạng 12 : Định tham số để hàm số chứa dấu trị tuyệt đối có n điểm cực trị– Dạng 13 : Cho bảng biến thiên, định giá trị tham số để hàm số trị tuyệt đối có n điểm cực trị– Dạng 14 : Cho đồ thị, định tham số để có hàm số có n điểm cực trị– Dạng 15. Biết được đồ thị của hàm số f ( x ) tìm ( số điểm ) cực trị của hàm ẩn– Dạng 16. Tìm ( số điểm ) cực trị hàm ẩn biết đồ thị của hàm số f ‘ ( x )– Dạng 17. Biết được f ‘ ( x ) hoặc bảng xét dấu, bảng biến thiên của f ‘ ( x ), tìm số điểm cực trị của hàm ẩn

Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng Cao 1

Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng Cao 2
Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng Cao 3
Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng Cao 4
Bài tập cực trị hàm số Vận Dụng Cao 5

#3. Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng Cao

Thông tin tài liệu
Tác giả Giáo viên THPT Đầm Dơi
Sô trang 115
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số– Dạng 2 : Cực trị hàm bậc ba, hàm trùng phương– Dạng 3 : Cực trị những hàm số khác

Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng Cao 1

Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng Cao 2

Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng Cao 3

Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng Cao 4

Bài tập cực trị của hàm số Vận Dụng và Vận Dụng Cao 5

#4. Cực trị của hàm ẩn

Thông tin tài liệu
Tác giả Thầy Nguyễn Minh Nhiên
Số trang 17
Lời giải chi tiết

Các bài toán về xác lập cực trị của hàm số cho bởi bảng biến thiên, đồ thị hay đạo hàm của nó ( ta vẫn gọi là cực trị hàm ẩn ) thường gây khó khăn vất vả cho nhiều thí sinh. Tài liệu này sẽ giúp những em có tìm ra hướng tiếp cận đơn thuần nhất để xử lý những bài toán đó thật thuận tiện.

Cực trị của hàm ẩn 1

Cực trị của hàm ẩn 2

Cực trị của hàm ẩn 3

Cực trị của hàm ẩn 4

Cực trị của hàm ẩn 5

#5. Cực trị hàm hợp và hàm liên kết (vận dụng cao)

Thông tin tài liệu
Tác giả Thầy Đặng Việt Đông
Số trang 78
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : Cực trị f ( x ), f ( u ), … biết những đồ thị không tham số– Dạng 2 : Cực trị f ( x ), f ( u ), … biết những BBT, B XD không tham số– Dạng 3 : Cực trị f ( x ), f ( u ), … tương quan biểu t hức đạo hàm không tham số )– Dạng 4 : Cực trị của hàm link h ( x ) = f ( u ) + g ( x ) biết những BBT, đồ thị không tham số– Dạng 5 : Cực trị hàm hợp f ( u ), g ( f ( x ) ), hàm link … có tham số.

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết 1

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết 2

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết 3

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết 4

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết 5

#6. Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Thông tin tài liệu
Số trang 44
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Dạng 1 : Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho hàm số y = f ’ ( x ) .– Dạng 2 : Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho bảng biến thiên và bảng xét dấu .– Dạng 3 : Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối khi cho đồ thị .– Dạng 4 : Cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối của hàm đa thức chứa tham số.

Tài liệu cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1

Tài liệu cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2

Tài liệu cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 3

Tài liệu cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 4

Tài liệu cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 5

#7. Cực trị hình học

Thông tin tài liệu
Tác giả Cô Nguyễn Thị Thúy Hằng
Số trang 75
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Giải toán cực trị hình học bằng hình học thuần túy .– Giải toán cực trị hình học bằng công cụ đại số .– Giải toán cực trị hình học bằng những chiêu thức khác.

Tài liệu về cực trị hình học 1

Tài liệu về cực trị hình học 2

Tài liệu về cực trị hình học 3

Tài liệu về cực trị hình học 4

Tài liệu về cực trị hình học 5

Tài liệu về cực trị hình học 6

#8. Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả Nhóm WORD
Số trang 14
Lời giải chi tiết

Mục lục tài liệu :– Kiến thức cần nhớ– Bài tập mẫu– Bài tập vận dụng

Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số 1

Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số 2

Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số 3

Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số 4

Đếm số điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số 5

Qua bài học hôm nay, mong rằng VerbaLearn đã giúp bạn đọc có thể nắm vững hơn về kiến thức cực trị của hàm số. Đây là một mảng kiến thức rộng và có nhiều dạng bài tập khác nhau. Để học tốt ngoài nắm chắc lý thuyết thì người học cần phải có thời gian rèn luyện bài tập để tiếp xúc với nhiều dạng nhất có thể.

Lê Võ Dũng

Xem thêm: Viết bưu thiếp

Thầy Dũng dạy toán học từ năm 2010 sau khi nhận bằng sư phạm môn toán tại trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng. Triết lý dạy học của thầy luôn coi trọng chất lượng hơn số lượng bởi ở một góc nhìn nào đó, tất cả chúng ta sử dụng toán học hằng ngày trong đời sống và cần phải hiểu rõ về thực chất của nó thay vì học sơ sài. Thầy cảm xúc rất như mong muốn khi được làm biên tập viên cho môn toán tại VerbaLearn, nơi mà những bài dạy của thầy hoàn toàn có thể tiếp cận nhiều học viên hơn .

0 comments on “Cực trị của hàm số | Lý thuyết & phân dạng bài tập (Kèm tài liệu)

Trả lời

[Review] 72 tư thế quan hệ tình dục phê không tưởng có hình ảnh sống động
[Review] 72 tư thế quan hệ tình dục phê không tưởng có hình ảnh sống động

Social